第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系

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问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？

师投影问题，学生讨论回答

生₁：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.

生₂：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……

师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.

以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.

探索新知

1．空间的两条直线位置关系：

共面直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点

②平行直线—在同一平面内，没有公共点.

③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.

随堂练习：

如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有        对.

答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.

现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类

生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.

师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”

学生讨论发现不能去掉“任何”

师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”

培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解

（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行

（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接BD，

因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，且.

同理FG∥BD，且.

因为EH∥FG，且EH = FG，

所以 四边形EFGH为平行四边形.

师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.

师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.

生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.

师（肯定）下面我们来看一个例子

观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：从图中可以看出，

∠ADC = ∠A′D′C′，

∠ADC + ∠A′B′C′=180°

师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.

师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.

师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.

培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.

通过分析和引导，培养学生解题能力.

探索新知

3．异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的概念.

已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

（2）异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.

例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′.

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？

解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.

师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.

①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；

②两条异面直线所成的角

；

③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；

④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；

⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；

⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.

然后师生共同分析例题

加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.

随堂练习

1．填空题：

（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有      条.

（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′         .

答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.

2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.

（1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？

学生独立完成

答案：.

2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.

（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.

在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，

所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

归纳总结

1．空间中两条直线的位置关系.

2．平行公理及等角定理.

3．异面直线所成的角.

学生归纳，教师点评并完善

培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.

作业

2.1 第二课时 习案

学生独立完成

固化知识

提升能力